反比例函数的一般形式为 y = k/x ，其中 k 是常数。
根据已知条件，反比例函数 y = (k^2 - 12)/x 经过点 (1, k)。
代入点的坐标可以得到：k = (k^2 - 12)/1，即 k^2 - k - 12 = 0。
我们解这个二次方程，得到 (k - 4)(k + 3) = 0 。
因此，k = 4 或 k = -3。
现在我们来分析每个象限内 y 随 x 的增大情况：
1. 第一象限：x 和 y 均为正数，x 和 y 同时增大。k = 4 满足此条件。
2. 第二象限：x 为负数，y 为正数。对于 y = (k^2 - 12)/x ，当 x 变小（负数变小），y 会变大。k = 4 满足此条件。
3. 第三象限：x 和 y 均为负数，x 和 y 同时减小。k = -3 不满足此条件。
4. 第四象限：x 为正数，y 为负数。对于 y = (k^2 - 12)/x ，当 x 变大，y 会变小。k = -3 满足此条件。
综上所述，只有 k = 4 时，函数 y = (k^2 - 12)/x 的图象在每个象限内 y 随 x 的增大都成立。
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